從有趣的機率問題談起…到「舉一反百」的抽象模式學習

主講人：桑慧敏博士

清華大學工業工程與工程管理學系教授
　

前言

莊聲和老師、陳兆麟老師、許美華老師、阮金祥老師、胡麗宜秘書，謝謝你們的參與！對我而言，一個地方會令人留戀的因素並不在於當地的風景名勝，而是因為有特殊的人情才會留下深刻的印象，許多從小認識的同學、好朋友與東吳商數系都有頗深的淵源，所以來此分享學習心得感覺特別親切。並在此謝謝我的助教（博尉）與我的小孩（聖平）同行與參與，此刻我的心情是充滿了喜悅與感激。

自認最喜愛的是文學，但各種機緣之下，分別在理學院（匹茲堡大學數學研究所）、工學院（匹茲堡大學工業工程研究所）、與商學院（成大工管研究所）取得三個碩士學位，最後在美國普渡大學取得工業工程博士。學習的路上橫跨文、理、工、商領域，加上對各種知識都有廣泛的興趣及熱切的追求，如果問我這樣的經歷對我有什麼影響，我的回答是：「這樣有趣的經歷，造就了一個有趣的我。」

學校除了「專業」學習之外，還要學習兩件重要的事情：正面思考的「想法」、抽象模式的學習（或稱一般化模式的學習），也就是「舉一反百的模式學習」。使我受惠最多的是「正面思考的邏輯」-往大處想的思考方式，教我盼望遠方的目標，不要受制於目前的困難，並教我相信任何事情發生必有其目的，且有助於我。

我在台灣清華大學已任教14年，主要是教授有關機率與應用統計的課題。最近，在某個機緣下才開始嘗試有關機率講題的公開演說，這是第11場；這些演講被我視為是清華大學14年的教學心得發表會。演講的主題會先從我的專業「應用機率與統計」談起，進而推論到「舉一反百」的抽象模式學習。事實上，「舉一反百」的抽象模式學習並非一定要由機率主題談起，我發現日常生活中有許多例子都是很好的主題。

笑話一則：亞洲國家的兒童不知何謂「你自己的意見」

進入主題前先分享一個在網路上看到的笑話：聯合國對全球的兒童問了一個問題：「請針對其他國家食物缺乏議題提供你自己的意見」，對於這個問題，竟沒有一個兒童能回答，因為沒有一個兒童完全聽懂這個問題。拉丁美洲國家的兒童不知何謂「請」、美洲國家的兒童不知何謂「其他國家」、非洲國家的兒童不知何謂「食物」、歐洲國家的兒童不知何謂「缺乏」、亞洲國家的兒童不知何謂「你自己的意見」。這個笑話的作者一定非常瞭解各國的教育系統與民情。我鼓勵大家要有自己的意見、想法，並鼓勵大家勇於「表達自己的意見」。

人與動物最大的區別是什麼？數學家說：人永遠不會滿足

我常想：「人與動物最大的區別是什麼？」哲學家可能會說「人會思考」、工程師會說「人會製造工具從事生產」、神學家會說「人有靈魂」、數學家可能會說「人永遠不會滿足」。數學家的訓練就是不能空口說白話，為了說明「人永遠不會滿足」，以圓週率π為例。自從西元5世紀時中國人祖沖之推導出圓週率π小數點後5位數，1873年英國W.H.窮其畢生的精力推導出π的小數點後707位數字，到1967年，以CDC6600可推導出圓週率π小數點後500,000位數，雖然已經推導這麼多位數了，人還會繼續算下去，因為人永遠不會滿足。

有關1873年英國W.H.推導出π的小數點後707位數字，是歐洲當代的一件盛事。500年後某些數學家開始猜測這組707位數字到底對不對，他們認為「上帝不該偏愛某個數字、每個數字出現的機會應該是均等的」，在這樣的動機下開始驗證707位數字，結果驗證到第500多位數字時發現錯誤，以後這707位數字就不曾出現在公開場合。這個概念-數字0到9出現的機率都是均等的，是很好的「以均勻分配作為機率分配」例子，也因而能夠檢證π的小數點後707位數字是否正確。

上帝也擲骰子嗎？

人如何學習，學習初期是以直接學習方式得到知識，用五官學習：眼看、耳聽、鼻聞、手摸、舌嚐、問別人而得到知識，到國、高中後則按照邏輯推導得到知識。歸結同樣的因可以得到同樣的果-稱因果論，這是一般由學校學習到的「定性模式」學習。以投骰子為例，全部可以控制的因素都在控制下，仍舊會出現不一樣的結果，這些不可控制的因素稱「隨機向量」。雖是隨機卻有規律性，研究機率、也就是研究隨機因素的規律性。也由於因果論的不足才造成機率論的興起。

以量子力學的成就得到諾貝爾獎的愛因斯坦認為，所有的東西都是由小粒子所組成。愛因斯坦認為「上帝是不擲骰子」，用機率模型描述量子運動在不同時間點的動能，是因為人的知識能力不足，當下只能先用「不確定性模式」；等到知識高度發展以後會用「確定性模式」描述量子力學。明年是愛因斯坦相對論發表100週年紀念，但到目前為止，「確定性模式」還無法取代機率模式描述粒子的行為，這是不爭的事實。

數字會說話、數學很有趣

今天的主題：從有趣的機率問題談起…到「舉一反百」的抽象模式學習，「上帝也擲骰子嗎？」談起。

這一連串演講的源起，是因為我的孩子參加曙光女中主辦的大學教授輔導小學升國中之科學教育營，需要數學輔導課程。我以家長兼教授的身分毛遂自薦，第一場演講即造成小學生的熱烈迴響。所有的小朋友都反應說：「原來數字會說話，數學是這麼有趣」，之後到國中演講，很多國中生反應說：「上帝的奧秘真的藏在數字裡，機率真是有趣」。

根據這十場演講中1000多份聽講者的回應，觀察出以下三點：
一、 觀察到10歲的孩子與70歲的長者；小學生與博士生對「許多與機率相關的日常生活中的問題」的直覺並沒有兩樣，原來人們很難能從日常生活的經驗中學習到正確的機率直覺。
二、 原來人人都是渴望學習，但是只限於能「愉快的學習」。
三、 原來人人都是聰明的（喜歡動腦的），因為長期填鴨式的學習，而失去了喜歡動腦的本能，其實只要藉著正確的學習方式 ( 例如演講中所說的-以圖形 -「舉一反百」的抽象模式學習方式」就可把原來聰明的自己找回來。

直覺想法與統計想法

直覺想法：未經推導過程直接想出答案。
統計想法：利用學校學到的概念為推導基礎。
雖然從學校中學習到「機率」的觀念可以幫助糾正機率直覺，但就像參加瘦身美容一樣，瘦身前後的體重數據差異是一項重要的客觀指標。一個重要的考慮思維-學習前後的差異比較，這樣才能夠清楚地確認學習前後的差別，並累積學習經驗。

    一、 賭金的玄機

    ※ 樂透彩 (play)
先請大家玩樂透遊戲，從1到42的數字中選出6個不同的數字，玩5次。等一下開獎。
開獎後發現全場有100多個聽眾,也就是500多張樂透賭注,無ㄧ人對中4個數字以上。許多雜誌報導「自稱報明牌的大師」告知大眾，不要投注有特別趨勢的數字：例如 1、2、3、4、5、6的連號；2、4、6、8、10、12皆偶數號等，其實學過機率的同學都知道，每組數字中獎機率都一樣，無關連號或偶數號。
有一則「爸爸買給你」的電視廣告所傳播的訊息「小孩要什麼，爸爸都可以買給他，因為有-樂透彩」，內容有誤導民眾「中獎機率很高」的嫌疑，事實是：獎金雖大、中獎機率卻很低、非常不易中獎。很多學生聽完演講後反應：「要回家告訴爸爸媽媽，不要再迷信明牌可以中樂透，因為 ，任何一組數中頭獎的機率都一樣，都一樣很小，都是五百萬分之ㄧ。」

    ※紅包問題
現在有兩個紅包可以讓你選，前提：其中一個紅包是另一個紅包的2倍金額。假設你選到的紅包是100元，你要不要換紅包？選擇換紅包的想法：另一個紅包可能是200元或是50元，平均數期望值是125元，應該要選擇換紅包。這樣的想法是否有錯？
解答：樣本空間的定義非常重要，這是最基本的概念，在只有兩個紅包的前提下，無論數值大或數值小的紅包，換不換期望值都是一樣的。
直覺想法：換紅包。
統計想法：換不換都是一樣的。

    ※桌球比賽分獎金
A、B兩人比賽桌球，勝者可得獎金１萬元，比賽進行到比數18：20時發生地震無法再繼續，此時若不受桌球比賽規則限制，要如何分獎金？這是相似於西元1494年賭徒分賭金所衍生出的第一個機率問題，經過150年後數學家找到解決方法，才發展出機率論。
直覺想法：將一萬元獎金按18：20比例分配，A得獎金4737元、B得獎金5263元。
統計想法：假設每場A、B得分的機率均等，寫下繼續比賽後所有的可能情況，A、B獲勝的機率是1：7，A得獎金1250元、B得獎金8750元。在推論前先做好定義樣本空間，結果便會大大不同，獎金差異很大。因此，定義樣本空間非常重要。

    ※Monty Hall (play)
這是重要有趣的機率問題，Monty Hall是美國電視節目主持人，節目中會玩一個遊戲，請來賓從A門、B門、C門三個門中選擇一個，其中只有一個門後面有大獎。來賓選擇其中一個門後，Monty Hall會從剩下的兩個門當中的一個門走出來問來賓要不要換門，這就是有名的「Monty Hal換門問題」。
直覺想法：換不換都是一樣的。
統計想法：定義樣本空間，共有9種情況，以條件機率而言，採二維思考，大獎在Ａ、Ｂ、Ｃ三個門中，來賓由Ａ、Ｂ、Ｃ擇一。架構寫出來後就很容易做答，畫成表格推論，換門的中獎機率是2/3，不換門的中獎機率是1/3。選擇換門的中獎機率是不換門的兩倍。

    二、 偵探的玄機

    ※麵包師傅做弊
第二次世界大戰德國戰敗後民生蕭條，政府規定每個麵包重量要達到200公克。一個物理教授領了30天的麵包後，發現麵包有大有小麵包店老闆偷工減料。教授要求老闆改進，不然要舉發他。老闆向教授保證，以後教授一定會拿到200公克以上的麵包。經過一個月後教授向政府檢舉麵包店老闆違法並通知他，可是麵包店老闆一直強調發給教授的麵包都沒有小於200公克，為什麼教授會發現自己偷工減料呢！
秘訣在於教授運用非常適合描述生物屬性高斯所發表的「常態分配」理論。教授以其所拿到的麵包重量數據推論為平均數195的右尾圖形；顯示麵包的重量是以195公克為平均數的常態分配，所以教授可以推算老闆使用195公克的麵包模型。
「常態分配」非常實用，轉成品管圖形用來檢證產品規格標準，很容易便發現製程的異樣並可以馬上停機檢查，在工業上應用很廣。「常態分配」是非常重要的發現，所以德國人以高斯為榮並將其肖像印在鈔票上作為紀念。

    ※諸葛亮與三個臭皮匠
諸葛亮的誘敵計謀會有85％的成功率，三個臭皮匠則各有60％的成功率；分別計算諸葛亮與三個臭皮匠可以讓敵人中計的成功率，用聯集與交集計算三個臭皮匠合計就有90％的成功率。所以古語「三個臭皮匠勝過一個諸葛亮」。

    三、 辛浦森謬論

    ※有趣的數字
辛浦森謬論Simpson’s Paradox
男性服藥後康復率是60％，沒有服藥的康復率是70％。女性服藥後康復率是20％，沒有服藥的康復率是30％。合併男女兩組數據發現，有服藥後康復率是50％，沒有服藥的康復率是40％。全部的人算出的百分比與分成男女性別子集算出的百分比，顯示完全不同的結果是相互矛盾的情況；稱為辛浦森謬論Simpson’s Paradox。事實上在媒體報導中常常會發現確實存有這樣矛盾的情況，康復率與服藥是否相關，不同的論述立場都可以找到支持的數據。依我的看法，結論與數據的組合是否適當應該由專家判定，由相關領域的專家選擇適宜的數據組做解釋，我們僅做統計領域的專業分析。

    四、 亂中有序的世界

    ※男女嬰之比
請各位想想所學過的機率模型中，哪一個模型描述男女嬰出生人口數之比是最適當？大家可能會說是柏努利機率模型最適當並以機率是1：1 為答案。數學家拉普拉斯在歐洲全面做調查統計發現「男女嬰之比為0.512：0.488」，惟獨巴黎市的數據不符，經過詳細的調查發現：巴黎有殺死新生男嬰的風俗，所以數據不同，矯正後發現男女嬰之比亦為0.512：0.488。後來在美洲、亞洲做人口統計發現也是一樣並沒有被推翻。很多數學解答是選擇目前現有最適當的模型去做最適當的解釋；亦是到目前為止尚未被推翻的解釋模型，但非最佳標準答案。

抽象模型學習

我問我的小兒子：小於100的最大整數是什麼？小兒子聽不懂我的問題，大兒子替媽媽轉述題目改成以紅包為例子問弟弟：媽媽要包一個紅包給你，但是只能在金額100元以下，你希望媽媽包多少？弟弟不假思索很快的回答99元。

學英文不知道何謂「重音」請大家寫下自己如何學習重音。我自創一個學習例子，也可以代表「舉一反百」的抽象模型。
英文單字的重音如何表示，用抽象模式學習以音階為範例：重音accent也是英文字尾音階的意思，用Me、Dor標示，重音的部分音高為Me，其他音節音高為Dor。
Me
Dor 代表重音在第一音節
Me
Dor 代表重音在第二音節
Me
Dor 代表重音在第三音節

演唱這段「戲鳳」是為了加深大家的印象，請注意歌詞「跟我學，照我樣，我教你做唐明皇，皇帝走路要像樣，大搖大擺，莫匆忙呀，莫匆忙，做皇帝要端莊，看人不能太輕狂，兩眼盯著人家望，不像皇帝像流氓啊，像流氓。」並不是依樣畫葫蘆就可以做唐明皇，學到精髓像皇帝，沒有則像流氓。

學習跳「侖巴」的訣竅是以圓形弧線表示身體重心轉移的動態模型，以此圖形模式練習跳舞，便可很容易又正確的學會跳「侖巴」。

剛開始在清華正式學習游泳時，教練先請大家游一趟讓他了解學員的游泳程度，那時候，雖然我的游泳速度很快；實際上自己知道自己的泳技很糟，只是拼命地往前游。但是，因為教練只站在泳池邊觀測速度，是無法了解我真正的程度。經過多年的努力與名師指點，我的泳技終於達到「與水共舞」的境地，就如同先前的比喻，看似「唐明皇」；但如果只能游得很拼命就似「流氓」。

有客人拜訪我家稱讚家裡很乾淨，其實在那之前，我花了整天的時間把東西塞進櫃子裡。客廳雖然很乾淨但櫃子裡塞滿雜物，等客人走後就回復原樣，一整天做白功。就像應付考試的填鴨教育、不求瞭解強迫記憶、囫侖吞棗的讀書方式，考試時拼命把腦袋中記憶的東西倒出來做答，考試雖可以考得很高分，等到考完沒多久全部忘光光。老師並不了解你自己的學習狀況，這也是「唐明皇與流氓」的差異。

學習放風箏要培養實際練習的經驗，但學習數學如果只有努力回家做習題演算練習，並沒有融會貫通相關概念，依我的評分標準是不及格的。我非常重視這個部分，考試時一定有這類型的測驗題。也許你的求學經驗不會碰到這樣的要求，但是如果進入研究所、博士班就讀，一定被要求具創造力，因為你的創意對這個世界有些許的幫助而獲得成就肯定。這個部分我主張從小就要開始練習，很榮幸請我的小孩（聖平）與大家分享他學習數學的心得（這部分省略，主要是談幾個數學抽象模式學習）

這場演講最主要分享的主題是「機率」，沒學過機率的同學當成是啟蒙，只要同學覺得「機率」有趣很好玩，產生學習的動機，這樣我的演講就算成功；學過機率的同學當成複習，建議每個人開始學習時要建立一個學習架構，並利用時間填滿剩下的細節。學習的模式不一定要從「機率」開始，日常生活中的例子很多，剛剛提到的「重音」「侖巴」還有聖平舉的例子等，都可以用圖形描述一般化，因為是一般化而沒有例子比較抽象，抽象模式雖非最適當的講法但還具代表性。藉由抽象模式教學，對專業老師而言很容易掌握主題，對學習者而言很快能舉一反百，短時間就可以學到精華。這是一個好方法，非常樂意推廣這樣的理念。「上帝的奧秘不只存在於數字中，而是無所不在」，最後希望大家看到我的熱心、熱誠與愛。

從清華大學工業工程系2004年11月份的人物專訪【不只是教「機率與統計學」的老師而已－專訪桑慧敏教授】，摘錄人物專訪文章中的一段話，做為這篇演講紀錄的最佳結語（全文見：http://140.114.55.25）
桑老師深入淺出的由許多有趣機率例子開始，最後同時以「建造一般模型」與「建造房屋模型」來解釋「建造機率模型」：分別從動機、基本建材、補充建材、地基、基本工具、 進階工具、模型，做比較；最後以「樣品屋」的比喻解釋「機率模型」真是太傳神了！我與一同聽講的同學都很驚訝老師如此的多才多藝，在科學性的演講中能適時的穿插些相關的詩詞歌賦，還加上歌唱與舞蹈，使得演講不只是生動有趣，更令人想不到「歌唱與舞蹈」也可以用來表達演講主題之ㄧ：「舉一反百的抽象模式學習」，真是一場知性、感性、與美的饗宴。